Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0沒(méi)有相異實(shí)根，且$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有實(shí)根，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有實(shí)根得△=-a-4-c²≥0，即-a-4≥c²≥0，從而知a≤-4；令t=2^b，由一元二次方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0沒(méi)有相異實(shí)根得△=4a²-4a（t²-8t+12）≤0，即-t²+8t-12+a≥0，則拋物線y=-t²+8t-12+a與橫軸必有交點(diǎn)，繼而可得a≥-4，綜合a≤-4知a=-4，根據(jù)-t²+8t-12+a=-（t-4）²≥0知t=4求得b的值，由-a-4≥c²≥0求得c的值．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\sqrt{-a}$x+4+c²=0有實(shí)根，
∴△=（-$\sqrt{-a}$）²-4×$\frac{1}{4}$（4+c²）=-a-4-c²≥0，
即-a-4≥c²≥0，
∴a≤-4，
方程ax²+2ax+2^2b-2^b+3+12=0可化為ax²+2ax+（2^b）²-8×2^b+12=0，
設(shè)t=2^b，
根據(jù)題意，知：△=4a²-4a（t²-8t+12）≤0 ①，
∵a≤-4，
∴①式兩邊都乘以4a，得：-t²+8t-12+a≥0，
令y=-t²+8t-12+a，
∵拋物線y=-t²+8t-12+a的開口方向向下，
∴△=64-4×（-1）×（-12+a）≥0，
解得：a≥-4，
又∵a≤-4，
∴a=-4，
則-t²+8t-12+a=-t²+8t-16=-（t-4）²≥0，
∴t=4，即2^b=4，
解得：b=2，
∵-a-4=0≥c²，
∴c=0，
綜上，a=-4，b=2，c=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握方程的解與判別式間聯(lián)系及拋物線與x軸交點(diǎn)與相對(duì)應(yīng)方程間的聯(lián)系是關(guān)鍵．