Question

16．如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊BC、BA交于點(diǎn)D、G，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，ED與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BE=1，CF=2，求⊙O半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明OD是△ABC的中位線，得出OD∥AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，由已知條件得出DE⊥OD，即可得出直線EF是⊙O的切線；
（2）連接CG，由圓周角定理得出∠AGC=90°，證出CG∥DE，得出比例式GE：BE=CD：BD，AC：AG=CF：GE，得出GE=BE=1，AC：AG=2：1，得出AC=2AG，證出∠ACG=30°，證明△ABC是等邊三角形，得出AG=BG=2，得出OA=AG=2即可．

解答 解：（1）直線EF是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵D是BC的中點(diǎn)，OA=OC，
∴OD是△ABC的中位線，BD=CD，
∴OD∥AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直線EF是⊙O的切線；
（2）連接CG，如圖2所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AGC=90°，
即CG⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴CG∥DE，
∴GE：BE=CD：BD，AC：AG=CF：GE，
∵BD=CD，
∴GE=BE=1，
∴AC：AG=2：1，
∴AC=2AG，
∴∠ACG=30°，
∴∠A=60°，
又∵OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AG=BG=2，
∴OA=AG=2，
即⊙O半徑為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定方法、三角形中位線定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過(guò)作輔助線才能得出結(jié)果．