Question

15．已知如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-18x+72=0的兩根，點D為線段OB的中點，過點D作AB的垂線與線段AB相交于點C．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求過點C的反比例函數(shù)解析式；
（3）已知點P在直線AD上，在平面內是否存在點Q，使以A、O、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程的解即可解決問題．
（2）先求出直線AB、CD的解析式．利用方程組求出點C坐標，即可解決問題．
（3）分三種情形①當OA是菱形AP₁OQ₁的對角線時，②當OA為菱形AP₂Q₂O的邊時，③當OA為菱形AP₃Q₃O的邊時，分別求解即可．

解答 解：（1）由x²-18x+72=0，解得x=6或12，由題意OA=6．OB=12，
∴A（6，0），B（0，12）．

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x+12，
∵DC⊥AB，D（0，6）
∴直線DC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{36}{5}}\end{array}\right.$，
∴交點C坐標（$\frac{12}{5}$，$\frac{36}{5}$），
∴過點C的反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{432}{25x}$．

（3）如圖

①當OA是菱形AP₁OQ₁的對角線時，易知P₁（3，3），
∵P₁與Q₁關于x軸對稱，
∴Q₁（3，-3）．
②當OA為菱形AP₂Q₂O的邊時，∵OA=AP₂=P₂Q₂=6，
∴P2（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{3}$），Q₂（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
③當OA為菱形AP₃Q₃O的邊時，同理可得Q₃（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（3，-3）或（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）或（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，掌握利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標，屬于中考壓軸題．