Question

4．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是$\widehat{AE}$的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60°，cosC=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，則MD的長度為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖，要求MD，只要求出OD、OM即可；根據(jù)題意容易發(fā)現(xiàn)OD為△ABE的中位線，因此應(yīng)首先求出BE；運用三角函數(shù)的定義求出BE；容易證明△OBE為等邊三角形，可求出OM=OB=BE，即可解決問題．

解答 解：如圖，∵點M是$\widehat{AE}$的中點，
∴OM⊥AE，AD=DE；而OA=OB，
∴OD是△ABE的中位線，
∴OD=$\frac{1}{2}$BE；
∵OE=OB，且∠BOE=60°，
∴△OBE是等邊三角形，
∴OM=OB=BE；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°；
∵cosC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{1}{2}$，而BC=2$\sqrt{3}$，
∴EC=$\sqrt{3}$，BE=3，
∴OD=$\frac{3}{2}$，MD=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故選B．

點評 該題主要考查了垂徑定理、三角形的中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握垂徑定理、三角形的中位線定理等知識點，并能靈活運用、解題．