Question

16．如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AB邊向B點運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿邊BC→CD→DA運動，兩點同時出發(fā)，點P到達B處時兩點運動停止，記P，Q的運動時間為t．
（1）是否存在時刻t，使線段PQ將正方形ABCD的周長分為1：2的兩部分？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（2）是否存在時刻t，使線段PQ將正方形ABCD的面積分為1：3兩部分，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由四邊形ABCD是邊長為6的正方形，求出正方形ABCD的周長為24，然后根據(jù)線段PQ將正方形ABCD的周長分為1：2的兩部分，則兩部分的周長分別為：8和16，然后分①當Q點在BC上時，即0≤t≤2時；②當Q點在CD上時，即2＜t≤4時；③當Q點在AD上時，即4＜t≤6時3種情況討論即可；
（2）先求出正方形ABCD的面積為36，然后根據(jù)線段PQ將正方形ABCD的面積分為1：3兩部分，則兩部分的面積分別為：9和27，然后分①當Q點在BC上時，即0≤t≤2時；②當Q點在CD上時，即2＜t≤4時；③當Q點在AD上時，即4＜t≤6時3種情況討論即可．

解答 解：（1）存在時刻t，使線段PQ將正方形ABCD的周長分為1：2的兩部分，
∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，
∴正方形ABCD的周長為24，
∵PQ將正方形ABCD的周長分為1：2的兩部分，
∴兩部分的周長分別為：24×$\frac{1}{3}$=8和24×$\frac{2}{3}$=16，
①當Q點在BC上時，即0≤t≤2時，如圖1所示，
 
∵動點P的運動速度為每秒1個單位，動點Q的運動速度為每秒3個單位，
∴經(jīng)過t秒，AP=t，BQ=3t，
則BP=6-t，QC=6-3t，∴BP+BQ=6+2t，AP+AD+DC+QC=24-6-2t，
∵BP+BQ=$\frac{1}{2}$（AP+AD+DC+QC），
即6+2t=$\frac{1}{2}$（24-6-2t），
解得：t=1；
②當Q點在CD上時，即2＜t≤4時，如圖2，

∵動點P的運動速度為每秒1個單位，動點Q的運動速度為每秒3個單位，
∴經(jīng)過t秒，AP=t，QC=3t-6，
∴BP=6-t，DQ=12-3t，
∴BP+BC+QC=6-t+6+3t-6=6+2t，AP+AD+DQ=18-2t，
∵BP+BC+QC=$\frac{1}{2}$（AP+AD+DQ），或BP+BC+QC=2（AP+AD+DQ），
即6+2t=$\frac{1}{2}$（18-2t），或6+2t=2（18-2t），
解得：t=1或t=7，不符合題意舍去；
③當Q點在AD上時，即4＜t≤6時，如圖3，

∵動點P的運動速度為每秒1個單位，動點Q的運動速度為每秒3個單位，
∴經(jīng)過t秒，AP=t，QD=3t-12，
∴BP=6-t，AQ=18-3t，
∴AP+AQ=18-2t，BP+BC+CD+DQ=24-（18-2t）=6+2t，
∵AP+AQ=$\frac{1}{2}$（BP+BC+CD+DQ），
即18-2t=12（6+2t），
解得：t=5．
∴當t取1秒或5秒，使線段PQ將正方形ABCD的周長分為1：2的兩部分；
（2）存在時刻t，使線段OQ將正方形ABCD的面積分為1：3兩部分．
∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，
∴正方形ABCD的面積為36，
∵PQ將正方形ABCD的面積分為1：3的兩部分，
∴兩部分的面積分別為：36×$\frac{1}{4}$=9和36×$\frac{3}{4}$=27，
①當Q點在BC上時，即0≤t≤2時，如圖1所示，

由（1）中的①知，BP=6-t，BQ=3t，
∵S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BQ，
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$（6-t）•3t，
當$\frac{1}{2}$（6-t）•3t=9時，
解得：t₁=3+$\sqrt{3}$（舍去），t₂=3-$\sqrt{3}$，
當$\frac{1}{2}$（6-t）•3t=27時，
解得：無解；
   ②當Q點在CD上時，即2＜t₂≤4時，如圖2所示，

由（1）中的②知，BP=6-t，QC=3t-6，
∵S梯形PBCQ=$\frac{1}{2}$（QC+BP）•BC，
即S梯形PBCQ=$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6，
當$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6=9時，
解得：t=1.5（舍去），
當$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6=27時，
解得：t=4.5（舍去）；
③當Q點在AD上時，即4＜t≤6時，如圖3，

由（1）中的③知，AP=t，AQ=18-3t，
∵S△APQ=$\frac{1}{2}$AP•AQ，
即S△APQ=$\frac{1}{2}$•t•（18-3t），
當$\frac{1}{2}$t（18-3t）=9時，
解得：t₁=3+$\sqrt{3}$，t₂=3-$\sqrt{3}$（舍去），
當$\frac{1}{2}$t（18-3t）=27時，
解得：無解．
∴存在時刻t為（3+$\sqrt{3}$）秒或（3-$\sqrt{3}$）秒，使線段PQ將正方形ABCD的面積分為1：3兩部分．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、及正方形的周長與面積，特別是題目中涉及的動點問題，對學(xué)生來說是一個難點，解題的關(guān)鍵是：分類討論①當Q點在BC上時，即0≤t≤2時；②當Q點在CD上時，即2＜t≤4時；③當Q點在AD上時，即4＜t≤6時3種情況討論．