Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn). 時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn). （2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)的符號(hào)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）由（1）知兩個(gè)零點(diǎn)，，，零點(diǎn)間關(guān)系是，變形為，引入變量，則，，，要證的不等式等價(jià)變形為，，即證，（），為此引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù)，則可證得結(jié)論成立，這里需要多次求導(dǎo)變形再求導(dǎo)才可證明．

(1)有題意得

由得，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

時(shí)，取得極大值，也是最大值為，

所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，

，設(shè)，

在恒成立，

在單調(diào)遞減，，

所以，在，各有一個(gè)零點(diǎn)，

函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

（2）由（1），即時(shí)，

有兩個(gè)零點(diǎn)，（），則，，

由，得，

令，則，，，

，顯然成立，

要證，即證，

只要證，即證，（），

令，，

，，

令，則，，令，

，，

令，

，時(shí)，是減函數(shù)，

所以時(shí)，，

所以是減函數(shù)，，即（），

所以是減函數(shù)，，

所以，在時(shí)是減函數(shù)，

，即，

所以在上是減函數(shù)，，

所以，即，

綜上，成立．