Question

【題目】已知橢圓的焦距和長半軸長都為2.過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線，分別與直線相交于點(diǎn)，.求證：以為直徑的圓恒過點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）易知橢圓中，結(jié)合，可求出橢圓的方程；

（2）結(jié)合由（1），可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，可表示出直線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理可證明，即，即以為直徑的圓恒過點(diǎn).

（1）由題意，橢圓中，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，可得，

顯然恒成立，

設(shè)，，則，

易知直線的斜率存在，，則直線的方程為，

所以，即，同理可得，

則，

所以，

所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn).