Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形，且，，點是線段的中點，過的平面交平面于，且，，且，，.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，可得，則可證明平面，再利用線面平行的性質定理證明；

（2）先證明，，兩兩垂直，則可建立如圖所示的空間直角坐標系，求出，再求出平面的一個法向量，可得直線與平面所成角的正弦值，進一步求解余弦值.

（1）證明：因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，

平面，平面，所以平面，平面，

平面平面，

所以；

（2）在中，因為，，

所以由正弦定理，即，

所以，∴，∴在中

所以，

因為是等腰三角形，且，點是線段的中點，

得，，，

在中，，為中點，所以，

又由已知且，故平面，

又平面，所以；

在中，由，，可知，

易知四邊形為平行四邊形，所以，

故，，兩兩垂直；

所以建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

設平面的一個法向量為，

又，，所以，

即,令，解得，，

所以為平面的一個法向量，

因為，設直線與平面所成的角為，

則，

∴，

故直線與平面所成角的余弦值為.