Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，.

（1）證明：；

（2）若平面平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；

（2）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，求出平面平面BB1C1C的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

（1）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?/span>，所以；

因?yàn)?/span>，，故為等邊三角形，所以；

因?yàn)?/span>，所以平面；所以.

（2）由（1）可知，，，又因?yàn)槠矫?/span>平面，交線為，所以平面，故，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

因?yàn)?/span>，所以，所以，，，.

設(shè)是平面的法向量，則，，解得，同理可得，平面的法向量，

，，

所以二面角余弦值為.