Question

【題目】已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）將有兩個(gè)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，利用研究的單調(diào)性和零點(diǎn)，由此求得的取值范圍.

（2）將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用證得，由此證得不等式成立.

（1）有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則在時(shí)恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，

所以有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>所以

①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減.

所以.

若，得，此時(shí)恒成立，沒有零點(diǎn)；

若，得，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；

若，得，因?yàn)?/span>，且，，所以在，上各存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

即若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.

（2）要證，只需證，即證，

由（1）知，，所以只需證.

因?yàn)?/span>，，所以，，

所以，只需證.

設(shè)，令，則，所以只需證，即證.

令，，則，.

即當(dāng)時(shí)，成立.

所以，即，

即.