Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)交曲線于兩點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得普通方程，（2）先設(shè)直線參數(shù)方程，再代人圓方程，利用參數(shù)幾何意義求的值.

試題解析：（（Ⅰ）將點(diǎn)，的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得和.

所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

將消去參數(shù)，得，即為曲線的普通方程.

（Ⅱ）解法一：直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)，為直線的傾斜角）

代入，整理得：.

設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分為、.則，

.

解法二：過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，

連接，因?yàn)辄c(diǎn)由平面幾何知識(shí)得：

，

所以 .