Question

【題目】如圖，已知圓E：經(jīng)過橢圓C：（）的左右焦點(diǎn)，，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且，E，A三點(diǎn)共線.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在與直線（O為原點(diǎn)）平行的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn).使，若存在，求直線l的方程，不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）求出圓E與x軸的交點(diǎn)即可求得c，由，E，A三點(diǎn)共線推出為圓E的直徑且，勾股定理求出，利用橢圓的定義即可求出a，進(jìn)而求出b，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理求出、的表達(dá)式，對進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得參數(shù)m.

（1）令，則，解得，所以，

因?yàn)?/span>，E，A三點(diǎn)共線，所以為圓E的直徑，且，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

則，，，

所以橢圓C的方程為.

（2）由，則，

假設(shè)存在直線l：滿足條件，

由，得

設(shè)直線l交橢圓C于點(diǎn)，，

則，，且，即，

，

，，解得，

故存在直線l：滿足條件