Question

【題目】對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”為 ，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

本題可根據(jù)優(yōu)值Hn的特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列{bn}：令bn=2n-1an，n∈N*，然后可通過先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式來求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再可根據(jù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，根據(jù)Sn為遞增數(shù)列轉(zhuǎn)化為求Sn最值問題，由此可得m的取值范圍．

由題意，可知對于數(shù)列:

.

∴.

可構(gòu)造數(shù)列:令,n∈N.

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.

∴.n∈N.

∴①當(dāng)n=1時(shí),；

②當(dāng)n≥2時(shí),.

由①②,可得：，n∈N.

∴，n∈N.

∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

對于數(shù)列通項(xiàng)為:，

，

令，則單調(diào)遞增，

當(dāng)，，

則恒成立，∴，

故答案為：.