Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為. 點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相切， 與圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由焦點(diǎn)及離心率求解方程組即可；

（Ⅱ）由，設(shè)，利用進(jìn)行求解即可；

（Ⅲ）先討論P(yáng)A直線斜率不存在和為0時(shí)的特殊情況，得相切的結(jié)論，再計(jì)算一般情況，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，則，直線： ，進(jìn)而得直線與橢圓聯(lián)立，通過(guò)計(jì)算判別式即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）由題意，知， ，

所以， ，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）由題意，得.

設(shè)，則.

所以，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以.

（Ⅲ）結(jié)論：直線與橢圓相切.

證明：由題意，點(diǎn)在圓上，且線段為圓的直徑，

所以.

當(dāng)直線軸時(shí)，易得直線的方程為，

由題意，得直線的方程為，

顯然直線與橢圓相切.

同理當(dāng)直線軸時(shí)，直線也與橢圓相切.

當(dāng)直線與軸既不平行也不垂直時(shí)，

設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，則，直線的斜率，

所以直線： ，直線： ，

由 消去，

得.

因?yàn)橹本�與橢圓相切，

所以，

整理，得. （1）

同理，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，

得. （2）

因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此時(shí)直線與橢圓相切.

綜上，直線與橢圓相切.