Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件：①任意的，總有；②；③若，，，總有成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù).

（1）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，則；

（2）證明：函數(shù)，是理想函數(shù)；

（3）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得且，則.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1) 令分別代入題設(shè)條件進(jìn)行分析即可.
(2)對①②直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,對③需代入計算化簡

證明即可.
(3)取,再根據(jù)題目條件代入分析論證即可.

(1)令,代入可得：即：,

又由條件①得：,故：；

(2)對于函數(shù),易得其值域,滿足①要求；其中.滿足②要求,若,,,

故滿足③,綜上所述：函數(shù)是理想函數(shù)；

(3)取,則：,因此：假設(shè)：,若,則；若,則,都與題設(shè)矛盾,所以假設(shè)不成立,則.