Question

【題目】如圖，矩形垂直于正方形垂直于平面．且．

（1）證明：面面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，需在平面內(nèi)找一條直線與平面垂直．由已知得和為等腰三角形，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，設(shè)，則可求出，，所以，即．因?yàn)?/span>是等腰底邊中點(diǎn)，所以，根據(jù)判定定理即證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得到各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，求出法向量夾角的余弦值，根據(jù)圖形判斷即可．

試題解析：（1）如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)．

不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>面，故，

于是在中可求得；

在直角梯形中可求得；

在中可求得；

從而在等腰，等腰中分別求得，

此時(shí)在中有，

所以，

因?yàn)?/span>是等腰底邊中點(diǎn)，所以，

所以平面，

因此面面

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則由題設(shè)條件可知：

，

設(shè)面的法向量為，

由得：，可取，

因?yàn)?/span>平面，故取平面的法向量為，

因此．

所以二面角的余弦值為