Question

【題目】若數(shù)列滿足n≥2時(shí)，，則稱數(shù)列(n)為的“L數(shù)列”．

（1）若，且的“L數(shù)列”為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，且的“L數(shù)列”為遞增數(shù)列，求k的取值范圍；

（3）若，其中p＞1，記的“L數(shù)列”的前n項(xiàng)和為，試判斷是否存在等差數(shù)列，對(duì)任意n，都有成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1，＋∞)；（3）存在滿足條件的等差數(shù)列，見解析

【解析】

（1）由題意知即，利用累乘法即可求得通項(xiàng)公式；（2）由可得，設(shè)，根據(jù)題意{bn}為遞增數(shù)列，只需－＞0恒成立即可求得滿足題意的k值；（3）根據(jù)的通項(xiàng)公式求出，利用放縮法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，再次利用放縮可得，設(shè)，易證其為等差數(shù)列，結(jié)論成立.

（1）由題意知，即，

所以，

即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）因?yàn)?/span>，且n≥2，n∈N*時(shí)，，所以，

設(shè)，n∈N*，所以1－．

因?yàn)?/span>{bn}為遞增數(shù)列，所以對(duì)n∈N*恒成立，

即－＞0對(duì)恒成立．

因?yàn)?/span>－＝，

所以－＞0等價(jià)于．

當(dāng)0＜k≤1時(shí)，因?yàn)?/span>n＝1時(shí)，，不符合題意．

當(dāng)k＞1時(shí)，，所以，

綜上，k的取值范圍是．

（3）存在滿足條件的等差數(shù)列，證明如下：

因?yàn)?/span>，k，

所以，又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

即，因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，且，

所以存在等差數(shù)列滿足題意．