Question

【題目】在四棱錐中，．

（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，，且平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若且, 求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1)由 易得，然后利用平面性質(zhì)易得實(shí)數(shù)的值；(2)先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建 立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，代入公式可得二面角的正弦值．

詳解：（1）因?yàn)?/span>,所以．

因?yàn)?/span>，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因?yàn)?/span>,可知為等邊三角形，

所以，又，

故，所有．

由已知，所以平面，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，

所以，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

即

設(shè)，則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由已知可得

即　

令，則，所以 ．

所以，

設(shè)二面角的平面角為，則．