Question

9．如圖所示，游樂場中摩天輪勻速逆時針旋轉，每轉一圈需要6min，其中心距離地面40.5m，摩天輪的半徑為40m，已知摩天輪上點P的起始位置在最低點處，在時刻t（min）時點P距離地面的高度為f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，-π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的單調區(qū)間；
（2）求證：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的圖象和性質，求得f（t）的解析式，再利用余弦函數的單調性求得f（t）的單調區(qū)間．
（2）利用誘導公式、兩角和差的三角公式化簡 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得結論．

解答 解：（1）由題意可得A=40，$\frac{2π}{ω}$=6，∴ω=$\frac{π}{3}$，φ=-$\frac{π}{2}$，h=40.5，
故f（t）=40sin（$\frac{π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+40.5=40.5-40cos$\frac{π}{3}$t，
令2kπ≤$\frac{π}{3}$t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函數的增區(qū)間為[6k，6k+3]，k∈Z；
令2kπ+π≤$\frac{π}{3}$t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函數的減區(qū)間為[6k+3，6k+6]，k∈Z．
（2）證明：∵f（t）=40.5-40cos$\frac{π}{3}$t，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5-40[cos$\frac{π}{3}$t+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{2π}{3}$）+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{4π}{3}$）]．
又 cos$\frac{π}{3}$t+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{2π}{3}$）-cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$t-cos（$\frac{π}{3}$t-$\frac{π}{3}$）-cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{3}$）
=cos$\frac{π}{3}$t-cos$\frac{π}{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$t=0，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5-40×0=121.5，顯然為定值，
故要證得結論成立．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象和性質，余弦函數的單調性，誘導公式、兩角和差的三角公式的應用，屬于中檔題．