Question

【題目】如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)且時(shí)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】【試題分析】（1）由于為弧的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可有，在圓柱內(nèi)有，由此證得平面，進(jìn)而得到平面平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸, 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求得二面角的余弦值，進(jìn)而求得其正弦值.

【試題解析】

(1)證明: 在圓B中,點(diǎn)P為的中點(diǎn), .

又 平面, ,而,

平面,又

平面平面

(2)解:以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,BA為軸, 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

則.設(shè)平面的法向量

由

設(shè)平面的法向量，

由

.（10分）設(shè)二面角的平面角大小為，

則,.