Question

【題目】已知三棱錐如圖所示，其中， ，二面角的大小為.

（1）證明： ；

（2）若為線段的中點(diǎn)，且， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）.

【解析】【試題分析】（1）由于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知2平面，進(jìn)而得到.（2）設(shè)，利用求出，由此在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，來(lái)求得二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：因?yàn)槎�面�?/span>的大小為，故平面平面，

又平面平面， ，故，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）解：設(shè)，則.

由（1）可知， ，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>， ，

所以，所以， .

解得，故， ， .

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ，

， ，

所以， .

由（1）知平面的法向量.

設(shè)平面的法向量，由，得.

令，得， ，所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.