Question

【題目】已知，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過作的垂直線交軸于點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 直接法求軌跡方程，利用 化簡可得.

(2) 設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)解，求出、點(diǎn)坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，計算得可證.

（1）設(shè)，則直線的斜率.直線的斜率，

依題意得，整理得，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）解法1：設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去整理得，

又，所以，即，，

易得，直線的斜率，

又，所以直線的方程為，

令得，所以直線的斜率，

又直線的斜率為，所以，所以.

解法2：設(shè)（其中），則直線，

令得，

所以直線的斜率.

又，所以直線的方程為，

所以直線的斜率，直線的斜率，

又，即，所以.

解法3：設(shè)直線，則直線的斜率，

，直線的斜率，

又，所以直線的方程為.

令得，

所以直線的斜率，所以