Question

11．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cos x）²+2cos²x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=sin²x+cos²x+2sinxcos x+（2cos²x-1）-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，則kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1．
∴當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間的最值，屬中檔題．