Question

【題目】已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于、兩點，且，如圖1.

（1）求圓的方程；

（2）如圖1，過點的直線與橢圓相交于、兩點，求證：射線平分；

（3）如圖2所示，點、是橢圓的兩個頂點，且第三象限的動點在橢圓上，若直線與軸交于點，直線與軸交于點，試問：四邊形的面積是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件設出圓心坐標,半徑為圓心縱坐標,利用弦長公式,可求出圓的方程;

（2）先求出點坐標,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,即可求得,命題得證;

（3）設,求出直線、直線方程，進而求出點與點的坐標,然后四邊形的面積用點與點的坐標表示,計算可得定值.

（1）依題意,設圓心，

，解得

所求的方程為;

（2）代入圓方程，得或

若過點的直線斜率不存在,此時在軸上,

,射線平分,

若過點的直線斜率存在，設其方程為

聯(lián)立，消去得,

設,,

,

,

射線平分,

（3）設,

直線方程為,令

得，即,

直線方程為,令

得，即,,

,

四邊形的面積為定值.