Question

已知橢圓的離心率為，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線

與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明： 為定值；

（3）是否存在定圓，使得直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）由題設(shè)：解得，

橢圓的方程為                           

（2）①直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，；

②直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則，直線的方程為，

     由得，，

     同理，                                            

     

，

為定值；                                

（3）由（2）得：

     ①直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，；

②直線的斜率存在且不為0時(shí)，

 

     原點(diǎn)到直線的距離， 

     直線與圓相切，

即存在定圓，使得直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，恒與該定圓相切．