Question

【題目】M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交；②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直；③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都相交；④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都平行；其中真命題是（ ）

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用反證法說(shuō)明①正確,通過(guò)直接作平面說(shuō)明②④正確，直接作平面說(shuō)明③錯(cuò)誤.

由題意得直線與是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)不在這兩異面直線中的任何一條上，

假設(shè)過(guò)點(diǎn)有兩條直線與直線都相交，如圖，

設(shè)交點(diǎn)分別為,則四點(diǎn)共面，從而直線共面，與與異面矛盾，因此假設(shè)不成立；顯然過(guò)點(diǎn)多于兩條直線與直線都相交也不成立，故過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交，①正確．

過(guò)點(diǎn)作直線分別與直線平行，如圖，

因?yàn)橹本�異面，所以直線必為相交直線，即可確定一個(gè)平面，因?yàn)榕c直線都垂直的直線必垂直這個(gè)平面，而過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直，所以過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直，故②正確．

因?yàn)辄c(diǎn)不在這兩異面直線中的任何一條上，所以平面與直線都平行，根據(jù)作法知平面只有一個(gè)，所以過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都平行，故④正確．

在平面過(guò)點(diǎn)作直線（與不重合）,如圖

則，確定的平面都與直線都相交，由有無(wú)數(shù)條，所以過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線都相交，故③不正確．

故選：C