Question

6．命題p：直線y=kx+3與圓x²+y²=1相交于A，B兩點；命題q：曲線$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在y軸上的雙曲線，若p∧q為真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：直線y=kx+3與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，可得圓心到直線的距離$d=\frac{{|{k•0-0+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜1$，解得k范圍．命題q：曲線$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦在y軸上的雙曲線，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-6＜0}\\{k＜0}\end{array}\right.$，解得k范圍．由于p∧q為真命題，可得p，q均為真命題，即可得出．

解答 解：∵命題p：直線y=kx+3與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，
∴圓心到直線的距離$d=\frac{{|{k•0-0+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜1$，∴$k＞2\sqrt{2}或k＜-2\sqrt{2}$，（5分）
∵命題q：曲線$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦在y軸上的雙曲線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-6＜0}\\{k＜0}\end{array}\right.$，解得k＜0，（10分）
∵p∧q為真命題，∴p，q均為真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞2\sqrt{2}或k＜-2\sqrt{2}}\\{k＜0}\end{array}\right.$，
解得k＜-2$\sqrt{2}$．（13分）

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、雙曲線的標準方程及其性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．