Question

【題目】由四個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).（最后的結(jié)果用數(shù)字表達(dá)）

（Ⅰ）若,其中能被5整除的共有多少個(gè)？

（Ⅱ）若，其中能被3整除的共有多少個(gè)？

（Ⅲ）若，其中的偶數(shù)共有多少個(gè)？

（Ⅳ）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求．

Answer 1

【答案】（1）6個(gè)；（2）12個(gè)；（3）14個(gè)；（4）x=7

【解析】

試題（1）若x=5，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；

（2）若x=9，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，分“取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9”與“取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9”兩種情況討論，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（3）若x=0，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，分“末位是0”與“末位是2或4”兩種情況討論，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（4）分析易得x=0時(shí)不能滿(mǎn)足題意，進(jìn)而討論x≠0時(shí)，先求出4個(gè)數(shù)字可以組成無(wú)重復(fù)三位數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可以計(jì)算出每個(gè)數(shù)字用了18次，則有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．

解：（1）若x=5，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，5；

又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，

在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A32=6種情況，

即能被5整除的三位數(shù)共有6個(gè)；

（2）若x=9，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，9；

又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，

取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9時(shí)，有A33=6種情況，

取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9時(shí)，有A33=6種情況，

則此時(shí)一共有6+6=12個(gè)能被3整除的三位數(shù)；

（3）若x=0，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，0；

又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，

當(dāng)末位是0時(shí)，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A32=6種情況，

當(dāng)末位是2或4時(shí)，有A21×A21×A21=8種情況，

此時(shí)三位偶數(shù)一共有6+8=14個(gè)，

（4）若x=0，可以組成C31×C31×C21=3×3×2=18個(gè)三位數(shù)，即1、2、4、0四個(gè)數(shù)字最多出現(xiàn)18次，

則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）×18=126，不合題意，

故x=0不成立；

當(dāng)x≠0時(shí)，可以組成無(wú)重復(fù)三位數(shù)共有C41×C31×C21=4×3×2=24種，共用了24×3=72個(gè)數(shù)字，

則每個(gè)數(shù)字用了=18次，

則有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．