Question

【題目】如圖，在多面體，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， .

（1）求證： ；

（2）求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：⑴作交于， 交于，連接， ， ，易推出四邊形是平行四邊形，得出，在推出， ， ，

⑵建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，然后利用公式計(jì)算出結(jié)果

解析：(Ⅰ)證明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，連接EF，BD，AC.

由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，

所以四邊形MEFN是平行四邊形，

所以MN∥EF，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，

所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，EF平面ABCD，

所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因?yàn)锳C∩PA＝A，

所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則C(0，1，0)，M，N，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(，0，0)，

所以＝，＝，＝(0，0，2)，＝(，1，0)，

設(shè)平面MNC的法向量為m＝(x，y，z)，則

令z＝1，得x＝0，y＝，

所以m＝；

設(shè)平面APMB的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則

令x1＝1，得y1＝－，z1＝0，

所以n＝(1，－，0)，

設(shè)平面MNC與平面APMB所成銳二面角為α，

則cos α＝＝＝，

所以平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值為.