Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)時，令，若在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖像上所有點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析; （2）;（3）.

【解析】試題分析：（1）代入數(shù)據(jù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變換確定函數(shù)的單調(diào)性和極值；（2）代入數(shù)據(jù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變換確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再利用極值的符號確定函數(shù)的零點；（3）合理構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)為求函數(shù)最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.

試題解析：（1）, ,（x>0），當(dāng)0<x<3時， >0， 在（0,3）單調(diào)遞增；當(dāng)x>3時， <0， 在單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,3），單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值是，無極小值．

（2）當(dāng)時， ，則.∵，∴當(dāng)時， .當(dāng)時， ；當(dāng)時， .故在處取得極大值.又， ， ，則，∴在上的最小值是． 在上有兩個零點的條件是，解得，∴實數(shù)的取值范圍是，

（3）由題意得對恒成立，設(shè)， ，則， ,求導(dǎo)得，當(dāng)時，若，則，所以在單調(diào)遞減， ， 成立，得；當(dāng)時， ,在單調(diào)遞增，所以存在，使，則不成立；當(dāng)時， ，則

在上單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增，則存在，有，所以不成立，綜上得，即．