Question

【題目】已知函數(shù)，是偶函數(shù).

（1）求的值；

（2）若函數(shù)的圖象在直線上方，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)定義,代入后根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)與運算化簡,即可求得的值.

（2）根據(jù)函數(shù)的圖象在直線上方,可知對于任意恒成立.分離參數(shù),并構(gòu)造函數(shù).根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.

（3）將的解析式代入,化簡后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,即可求得最小值為0時的值,取符號要求的即可.

（1）函數(shù),是偶函數(shù)

則滿足

所以

即

所以

解得

（2）由（1）可知,

因為函數(shù)的圖象在直線上方

所以對于任意恒成立

代入可得

所以對于任意恒成立

令

因為

所以由對數(shù)的圖像與性質(zhì)可得

所以

（3）,,

且

代入化簡可得

令,因為

所以

則

當(dāng),即時,在上為增函數(shù),

所以

解得,不合題意,舍去

當(dāng),即時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

所以

解得,所以

當(dāng),即時, 在上為減函數(shù),

所以

解得不合題意,舍去

綜上可知,