Question

設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為.
（1）求；
（2）證明：.

Answer 1

（1） ；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）求的值就一定要建立關(guān)于的兩個(gè)方程，通過解方程求出值，這就是方程思想，這里通過斜率關(guān)系確立一個(gè)方程，還有一個(gè)方程就是要用切點(diǎn)既在直線上，又在曲線上來確立，即用好切點(diǎn)的雙重身份；（2）通過重新構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來研究函數(shù)的極值和最值，進(jìn)而達(dá)到證明不等式的目的，此題如果想直接去研究的最小值，通過最小值比大，來達(dá)到證題的目的，那是很難辦到的，所以說構(gòu)造函數(shù)是需要功底的，也是需要技巧的.
試題解析：（1） 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8d/d/pqdqb2.png" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)切點(diǎn)既在直線上，又在曲線上，依題意可得，，故         4分
（2）由（1）知， ，從而等價(jià)于.
設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，從而在上的最小值為  10分
設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在上的最大值為．又和在上取得最值的條件不同，所以綜上：當(dāng)時(shí)，，即.    14分
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2.函數(shù)的綜合應(yīng)用.