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2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學（理工農醫(yī)類）（重慶卷）

 

本試卷分第Ⅰ部分（選擇題）和第Ⅱ部分（非選擇題）共150分 考試時間120分鐘.

 

第Ⅰ部分（選擇題  共60分）

 

參考公式：

如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨立，那幺 P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

（1）函數(shù)的定義域是：                                  

試題詳情

（A）       （B）     （C）        （D）

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（2）設復數(shù), 則                                                       （A）?3           （B）3                  （C）－3i         （D）3i

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（3）圓的圓心到直線的距離為                        

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    （A）2          （B）           （C）1            （D）

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（4）不等式的解集是                                                                               （A）             （B）

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   （C）                           （D）

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（5）                                                                       （A）          （B）          （C）        （D）

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（6）若向量的夾角為，,則向量的模為      （A）2             （B）4           （C）6            （D）12

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（7）一元二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是：

試題詳情

    （A）          （B）       （C）       （D）

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（8）設P是的二面角內一點，垂足，則AB的長為                                                               

試題詳情

   （A）          （B）        （C）          （D）

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（9） 若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是：                                                               

     （A）4005           （B）4006         （C）4007           （D）4008

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（10）已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：                                              

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      （A）              （B）           （C）             （D）

（11）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為：             

試題詳情

   （A）            （B）          （C）                                  （D）

（12）若三棱錐A-BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成圖形可能是

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A

A

C

B

 

P

P

C

B

 

              （A）                                  （B）

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C

B

A

B

A

C

P

P

 

 

 

            （C）                                    （D）

 

第Ⅱ部分（非選擇題 共90分）

 

 

試題詳情

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）若在的展開式中的系數(shù)為，則.

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（14）曲線在交點處切線的夾角是______，（用幅度數(shù)作答）

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（15）如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3、P4、…..，Pn，…,記紙板Pn的面積為，則.

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

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（16）對任意實數(shù)K，直線：與橢圓：恒有公共點，則b取值范圍是_______________

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在

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上的單調遞增區(qū)間。

 

 

 

（18）（本小題滿分12分）

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設一汽車在前進途中要經過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表示停車時已經通過的路口數(shù)，求：

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（Ⅰ）的概率的分布列及期望E;

（Ⅱ）停車時最多已通過3個路口的概率。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

     如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，

（Ⅰ）明MF是異面直線AB與PC的公垂線；

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（Ⅱ）若,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值。

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

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設函數(shù)

試題詳情

（Ⅰ）求導數(shù); 并證明有兩個不同的極值點;

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（Ⅱ）若不等式成立，求的取值范圍.

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

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設是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

Y

 

y2=2px

B

 

 

 

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

試題詳情

設數(shù)列滿足

試題詳情

（Ⅰ）證明對一切正整數(shù)n 成立；

試題詳情

（Ⅱ）令,判斷的大小，并說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學（理工農醫(yī)類）（重慶卷）

試題詳情

 

一、選擇題：每小題5分，共60分.

（1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

（7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

二、填空題：每小題4分，共16分.

（13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

三、解答題：共74分.

（17）（本小題12分）

解：

     

故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是－2；

單增區(qū)間是[]，

（18）（本小題12分）

      解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4

             用AK表示“汽車通過第k個路口時不停（遇綠燈）”，

則P（AK）=獨立.

故

 

從而有分布列：

 

            0     1       2        3        4

 

    P                          

            

             （II）

             答：停車時最多已通過3個路口的概率為.

   （I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB與PC的公垂線.

      （II）解：連結BD交AC于O，連結BE，過O作BE的垂線OH，

        垂足H在BE上.

               易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

               又OH⊥BE，故OH//DE，

               因此OH⊥面MAE.

               連結AH，則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角 

               設AB=a，則PA=3a， .

               因Rt△ADE~Rt△PDA，故

              

              

（20）（本小題12分）

      解：（I）

      

             因此是極大值點，是極小值點.

             （II）因

       

             又由（I）知

            

             代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得

       

（21）（本小題12分）

   解法一：由題意，直線AB不能是水平線，  故可設直線方程為：.

   又設，則其坐標滿足

        
   
        
    
    
        
    
              由此得   
              
              因此.
              故O必在圓H的圓周上.
              又由題意圓心H（）是AB的中點，故
              
              由前已證，OH應是圓H的半徑，且.
              從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.
              此時，直線AB的方程為：x=2p.
              解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky=x－2p
              又設，則其坐標滿足
           分別消去x，y得
              故得A、B所在圓的方程
              明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上，
              又知A、B中點H的坐標為
              故 
              而前面圓的方程可表示為
              故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）.
              又，
              故當k=0時，R2最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x=2p.
              解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上
              又直徑|AB|=
              上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.
              此時直線AB的方程為x=2p.
        （22）（本小題14分）
              （I）證法一：當不等式成立.
                         
                         綜上由數(shù)學歸納法可知，對一切正整數(shù)成立.
                         證法二：當n=1時，.結論成立.
                         假設n=k時結論成立，即

                         當的單增性和歸納假設有
                         
                         所以當n=k+1時，結論成立.
                         因此，對一切正整數(shù)n均成立.
                         證法三：由遞推公式得 
                         
                         上述各式相加并化簡得  
                         
              （II）解法一：
                

                         解法二：
        


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        I
                         解法三：
                                 

                         故.