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分析：把限制為象限角時，只考慮且的情形，遺漏了界限角。應補充：當時，；當時，，或。

例3． 若，求的取值范圍。

錯解  移項得，兩邊平方得

即

分析：忽略了滿足不等式的在第一象限，上述解法引進了。

正解：即，由得

       ∴

例4． 設、為銳角，且+，討論函數(shù)的最值。

錯解

可見，當時，；當時，。

分析：由已知得，∴，則

∴當，即時，，最大值不存在。

五、             忽視應用均值不等式的條件

例5． 求函數(shù)的最小值。

錯解 

∴當時，

分析：在已知條件下，（1）、（2）兩處不能同時取等號。

正解：

當且僅當，即，時，

專題四：三角函數(shù)

【經(jīng)典題例】

例1：點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為（    ）

（A）  （B）  （C）  （D）

[思路分析] 記，由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標滿足，故選（A）

[簡要評述]三角函數(shù)定義是三角函數(shù)理論的基礎，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例2：求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值.

[思路分析]

所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

[簡要評述]三角恒等變形是歷年高考考察的主要內(nèi)容，變形能力的提高取決于一定量的訓練以及方法的積累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函數(shù)的周期、最值是考察的熱點，變形化簡是必經(jīng)之路。

例3：已知，

的值.

[思路分析] ∵

∴得    又

于是 

[簡要評述] 此類求值問題的類型是：已知三角方程，求某三角代數(shù)式的值。一般來說先解三角方程，得角的值或角的某個三角函數(shù)值。如何使解題過程化繁為簡，變形仍然顯得重要，此題中巧用誘導公式、二倍角公式，還用到了常用的變形方法，即“化正余切為正余弦”。

例4：已知b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=對任意α、βR有：

且

（1）求f（1）的值；（2）證明：c；（3）設的最大值為10，求f（x）。

[思路分析]（1）令α=，得令β=，得因此；

（2）證明：由已知，當時，當時，通過數(shù)形結合的方法可得：化簡得c；

（3）由上述可知，[-1，1]是的減區(qū)間，那么又聯(lián)立方程組可得,所以

[簡要評述]三角復合問題是綜合運用知識的一個方面，復合函數(shù)問題的認識是高中數(shù)學學習的重點和難點，這一方面的學習有利于提高綜合運用的能力。

例5：關于正弦曲線回答下述問題：

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2）若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是 1        ；

（3）把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標擴大到原來的3倍（縱坐標不變），則所得的函數(shù)解析式子是  ；

（4）若函數(shù)的最大值是，最小值是，最小正周期是，圖象經(jīng)過點（0，-），則函數(shù)的解析式子是；

[思路分析] 略

[簡要評述]正弦曲線問題是三角函數(shù)性質(zhì)、圖象問題中的重點內(nèi)容，必須熟練掌握。上述問題的解答可以根據(jù)正弦曲線的“五點畫法”在草稿紙上作出函數(shù)的草圖來驗證答案或得到答案。

例6：函數(shù)

（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的最大值及對應的x值。

[思路分析] （1）{x|x

(2)設t=sinx+cosx,  則y=t-1     

[簡要評述]若關于與的表達式，求函數(shù)的最值常通過換元法，如令，使問題得到簡化。

例7：在ΔABC中，已知（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）求角B的取值范圍。

[思路分析]（1）條件等式降次化簡得

（2）

∴……，得B的取值范圍

[簡要評述]三角形中的變換問題，除了需要運用三角式變換的所有方法、技巧外，還經(jīng)常需要考慮對條件或結論中的“邊”與“角”運用“正弦定理、余弦定理或面積公式”進行互換。

例8：水渠橫斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為h，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達到最小，應使梯形兩腰及下底之和達到最小，此時下底角α應該是多少？

[思路分析] CD=,  C=,轉化為考慮y=的最小值，可得當時，y最小，即C最小。

[簡要評述]“學以致用”是學習的目的之一，三角知識的應用很廣泛，在復習過程中應受到重視。

【熱身沖刺】

1．若，則滿足 =0.5的角 的個數(shù)是（C）

    （A）2            （B）3              （C）   4        （D）5

2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（B ）

    （A）向右平移個單位長度       （B）向右平移個單位長度

    （C）向左平移個單位長度       （D）向左平移個單位長度

3．已知函數(shù)，則下面三個命題中：（1）；（2）；（3）；其中正確的命題共有（ B ）

    （A） 0個      （B）   1個     （C）2個       （D）3個

4．若是奇函數(shù)，且當>0時，，則當時，為( C )

（A）    （B）  （C）||   （D）||

5．函數(shù)是奇函數(shù)，則等于（ D）

（A）  （B）  （C） （D）

6．如果圓至少覆蓋函數(shù)的一個最大值點和一個最小值點，則的取值范圍是（   B   ）

（A）    （B）     （C）    （D）

7．若∈[]，則y＝ 

的最大值是（ C  ）

（A）    （B）  （C）       （D）

8．．函數(shù)在區(qū)間[上的最小值為-，則的取值為（ C  ）

（A）[ （B）[0，  （C）[  （D）

9．若△ABC面積S=則∠C=（ C）

 （A）          （B）           （C）         （D）

10．已知向量則與的夾角為（ A ）

   （A）  （B）   （C）    （D）

11．若是以5為周期的奇函數(shù)，=4,且cos，則 = -4   .

12．函數(shù)=lg(sincos)的增區(qū)間是

13．用表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)。

則=  -81            。

14．設，且，則的取值范圍是 ；

15．（文）求函數(shù)的定義域。

答案：

（理）二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)是負數(shù)，對任何，都有）=，設M=[arcsin(sin4)]，N=[arcos(cos4)]，討論M和N的大小。

答案： M>N     

16．在銳角三角形ABC中，

（Ⅰ）求證；       （Ⅱ）設=3，求邊上的高.

略解（Ⅰ）證明：

所以

（Ⅱ）解：，

         即  ，將代入上式并整理后解得

，舍去負值，∴  

 設邊上的高為.由AB=AD+DB=得CD=2+.

17．已知，，其中，

(1)  求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值。

答案：；

18．在銳角ΔABC中，已知A<B<C,且B=，又，求證：

略證：由已知得，……進一步可求出……，得，

∴

19．（1）已知，證明不存在實數(shù)能使等式cos+msin=m(*)成立；

（2）試擴大的取值范圍，使對于實數(shù)，等式(*)能成立；

（3）在擴大后的取值范圍內(nèi)，若取,求出使等式(*)成立的值。

提示：（1）可化為（2）（3）

20．設函數(shù)= ?，其中向量=(2cos，1)，=(cos，sin2)，∈R.

(1)若且∈[－，]，求；

（2）若函數(shù)y=2sin2的圖象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=的圖象，求實數(shù)m、n的值.

略解：（Ⅰ）依題設，=2cos²+sin2=1+2sin(2+).

由，得，∵∴.

（Ⅱ）函數(shù)=2sin2的圖象按向量=(m，n)平移后得到函數(shù)的圖象，即函數(shù)y=的圖象.

由（Ⅰ）得 =2sin2(+)+1.    ∵|m|<，∴m=，n=1.