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9.若，則等于      . 

10.若直線與直線平行，則m的值為      .

11. 若展開式中的所有二項式系數和為512，則      ；該展開式中的常數項為      .     

12．已知向量．若向量，則實數的值是      ；

13．過拋物線的焦點的直線，交拋物線于兩點，交其準線于 點，若，則直線的斜率為           .

14.對任意的正整數、，定義同時滿足下列條件：

①；②若，；③，

則的值是       ；的表達式為         （用含的代數式表示）.  

得分

評卷人

15．（本小題滿分13分）

已知函數．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求函數的單調增區(qū)間．

得分

評卷人

16． （本小題滿分13分）

在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑．現(xiàn)在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種．根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．

（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；

（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率.

得分

評卷人

17． （本小題滿分13分）

如圖，直三棱柱的側棱，底面三角形中，，，是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小.

得分

評卷人

18．（本小題滿分14分）

已知函數．

（Ⅰ）若在處取得極值，求實數的值；

（Ⅱ）求的單調區(qū)間；

（Ⅲ）求函數在閉區(qū)間的最小值.

得分

評卷人

19．（本小題滿分13分）

已知的三邊長成等差數列，若點的坐標分別為．

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程；

（Ⅱ）線段的延長線交頂點C的軌跡于點，當     

且點在軸上方時，求線段垂直平  

分線的方程．

得分

評卷人

20．（本小題滿分14分）

已知數列的前項和為，且，其中．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，為的前項和，求證：

．

北京市朝陽區(qū)高三統(tǒng)一練習㈠

              數學文科答案            2009.4

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

A

C

A

A

A

9. ;           10. 1和-2;            11. 9,  ;         12. ；

13． ;     14. 6, 

15． 解: （Ⅰ）

，

所以函數的最小正周期為2． ……………………………………8分 

（Ⅱ）令 ，得 .

故函數的單調增區(qū)間為． …………13分

16． 解：（Ⅰ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3”為事件A，則

答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率是………5分

（Ⅱ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數”為事件B，

兩種添加劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，其中芳香度為1和3的概率為

芳香度為2和2的概率為

芳香度為3和3的概率為  

所以

答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率是……13分

17． 解法一：

（Ⅰ）證明：因為，

是的中點，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因為平面,

所以.…………6分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

過作，垂足為,連結.

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小為.

由于二面角與二面角的大小互補，

所以二面角的大小為.…………………………13分

解法二：

以的中點為原點，先證明平面，建立空間直角坐標系（如圖）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）證明：，.

因為，所以  

.…………6分

（Ⅱ）解：.

設平面的一個法向量為            

，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以為平面的法向量.

因為 ,

所以

由圖可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小為.…………………………13分

 18． 解：（Ⅰ） ，

因為在處取得極值，所以，解得．………………2分

（Ⅱ），

 （1）當時，，則在上為增函數；

（2）當，即時，由 得或，所以的單調增區(qū)間為和;由得，所以的單調減區(qū)間為；

（3）當即時，由得或，所以的單調增區(qū)間為和；由，得，所以的   單調減區(qū)間為.

綜上所述，當時，的單調增區(qū)間為；

當時，的單調增區(qū)間為和，的單調減區(qū)間為;   當時，的單調增區(qū)間為和，的單調減區(qū)間為.

……………………………………………………8分

（Ⅲ）（1）當即時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞增，

所以的最小值為；

（2）當，即時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞減，在

上單調遞增，所以的最小值為；

（3）當即時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞減，所以的最小值為.

綜上所述，當時，的最小值為；時，的最小值為；時，的最小值為.   ………………14分

19．解：（Ⅰ）因為成等差數列，點的坐標分別為

所以，且，

由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的         

 橢圓（去掉長軸的端點），

所以．

故頂點的軌跡方程為．…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.因為，，

所以.則.

所以直線的斜率為.

于是直線方程為.

由得．設兩點坐標分別為

則，．

線段中點的坐標為,

故垂直平分線的方程為，即為.……13分

  20. 解：（Ⅰ）已知式即，故．

由條件知，所以．

由于，且，故．

于是 ，，

所以 ．   ……………………………………………………5分

（Ⅱ）由，得，

故．

從而 ．

因此

．

設，

則，

故，

注意到，所以．

特別地，從而．

所以．           …………………………………14分