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1．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．    B．    C．  D．

2．若函數(shù)的反函數(shù)為，則等于（    ）

    A．   B．   C．    D．

3．在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項的和等于（    ）

    A．13      B．26    C．8     D．16

4．復數(shù)在復平面上對應的點位于（    ）

    A．實軸上    B．虛軸上   C．第一象限   D．第二象限

5．已知正三棱錐中，一條側(cè)棱與底面所成的角為，則一個側(cè)面與底面所成的角為（    ）

    A．   B．   C．   D．

6．若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)一定是（    ）

    A．奇函數(shù)                  B．偶函數(shù)

    C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)    D．非奇非偶函數(shù)

7．某市有6名教師志愿到四川地震災區(qū)的甲、乙、丙三個鎮(zhèn)去支教，每人只能去一個鎮(zhèn)，則恰好其中一鎮(zhèn)去4名，另兩鎮(zhèn)各一名的概率為（    ）

      A．    B．      C．    D．

8．過圓上一點作切線與軸，軸的正半軸交于、兩點，則的最小值為（    ）

    A．    B．    C．    D．

9．某市學生的高考成績服從正態(tài)分布，平均成績，方差為，若全市高考錄取率為，則錄取分數(shù)線為(已知) （    ）

    A．   B．    C．     D．

10．設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（    ）

    A．   B．    C．    D．

11．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．  B．  C．    D．

12．雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為、，拋物線的準線為，焦點為，與的一個交點為，線段的中點為，是坐標原點，則（    ）

    A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷 (非選擇題  共90分)

13．若對于任意的實數(shù)，都，則實數(shù)的值為        ．

14．若棱長為的正方體的八個頂點都在球的表面上，則，兩點之間的球面距離為         ．

15．函數(shù)的最小值是          ．

16．給出以下四個命題：

    ①函數(shù)的最小值為2；

    ②在數(shù)列中，，是其前項和，且滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列；

    ③若，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)；

    ④若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的值為．

    則正確命題的序號是                 。

17．(本小題滿分10分)

18．(本小題滿分12分)

    在中，， ．

   (Ⅰ)求；

  (11)設(shè)的外心為，若，求，的值．

19．(本小題滿分12分)

    在四棱錐中，底面是

邊長為2的菱形，，，

，是的中點．

    (Ⅰ)證明：平面；

    (Ⅱ)求二面角的大�。�

    (Ⅲ)設(shè)是直線上的動點，求點到平面的最大距離．

20．(本小題滿分12分)

    已知函數(shù)．

    (I)求的單調(diào)區(qū)間；

    (Ⅱ)若存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

21．(本小題滿分12分)

    已知兩點和分別在直線和上運動，且，動點滿足： (為坐標原點)，點的軌跡記為曲線．

    (Ⅰ)求曲線的方程，并討論曲線的類型；

    (Ⅱ)過點作直線與曲線交于不同的兩點、，若對于任意，都有為銳角，求直線的斜率的取值范圍．

22．(本小題滿分12分)

    在數(shù)列中，，且．

    (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；

    (Ⅱ)令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大�。�

    (Ⅲ)令，數(shù)列的前項和為，求證：對任意都有

2009石家莊市高三第一次模擬考試

數(shù)學理科答案

1.A      2. B     3. A      4. B     5.D     6.A

7. B      8.A     9. C     10. D    11.B　  12.C

13．　            14．　      

15．  1                 16．③  ，④  

（小時）

,………………………7分

.…………………………………9分

18．(本題12分)

解: (Ⅰ)由余弦定理知:

,………2分

.……………5分

(Ⅱ)由,

知

…………………………………7分

為的外心，

.

同理.………………………………10分

即， 解得: ……12分

19．(本題12分)

（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，.

四邊形為菱形,,

則……………2分

.

同理

故.……………………4分

（或用同一法可證）

（Ⅱ）先求二面角的大小

取的中點， 過作于點，

連結(jié).

則，

是二面角的平面角，……6分

可求得，

又

所以二面角的大小為.……………………8分

法二: 過作交于，

以為坐標原點，直線、、

分別為軸，

建立空間直角坐標系.

則（0，0，0），，

（0，0，2），.

,.…………………6分

設(shè)平面的法向量為，

則

取=則.

設(shè)平面的法向量為，

則  取，

則.

＜，＞=，

二面角的大小為.……………………8分

（Ⅲ）先求點到平面的最大距離.

點到直線的距離即為點到平面的距離. ……10分

過作直線的垂線段,在所有的垂線段中長度最大為.

為的中點,

故點到平面的最大距離為1. ……………………12分

20.(本題12分)

解：（Ⅰ）

（?）當時,

的單調(diào)遞增區(qū)間是().……………………2分

(?) 當時,令得

當時，

當時，

的單調(diào)遞減區(qū)間是()，

的單調(diào)遞增區(qū)間是 ().……………………5分

(Ⅱ),

,.

設(shè)

若存在實數(shù),使得成立,

則……………………8分

解得得,

當時,

當時,

在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). …………………10分

的取值范圍是().…………………………………………………12分

21．(本題12分)

（I）由，得是的中點. …………2分

設(shè)依題意得:

消去，整理得．

當時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當時，方程表示圓．       ……………………………5分

（II）由，焦點在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點，

直線斜率不存在時不符合題意；

可設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交點.

.………………7分

要使為銳角，只需

.………………9分

即，

可得，對于任意恒成立.

而，

所以的取值范圍是.………………12分

22(本題12分)

 解:(Ⅰ)，………………1分

，

即().………………3分

（II），

.

猜想當時，.………………4分

下面用數(shù)學歸納法證明:

①當時，由上可知成立；

②假設(shè)時，上式成立，即.

當時，

所以當時成立.

由①②可知當時,. ………………7分

綜上所述當時, ;

當時, ;

當時,. ………………8分

（III）

當時，

所以

＋.………………12分