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浙江省五校2007年高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理科）試題

參考公式：

如果事件 A ， B 互斥，那么P（ A+ B ）= P( A)+ P( B) ， P( A+ B)= P( A)P( B)

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概念是p，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生 k次的概率：

球的表面積公式：S=， 其中 R 表示球的半徑

球的體積公式V=，其中R表示球的半徑

第I卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．  知四邊形ABCD上任意一點P在映射：→作用下的象P‘構(gòu)成的圖形為四邊形。若四邊形ABCD的面積等于6，則四邊形的面積等于

                                                                                                                              （    ）

試題詳情

       A．9                        B．                  C．                  D．6

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2．已知復(fù)數(shù)Z，則的值是                                         （    ）       A．1          B．            C．                  D．

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3．有一正方體，六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記3的對面的數(shù)字為m，4的對面的數(shù)字為n，那么m+n的值為（    ）

      A．11                      B．8                        C．7                        D．3

試題詳情

 

 

 

 

試題詳情

4．已知集合A中有10個元素，B中有6個元素，全集U中有18個元素，設(shè)∁U(A∪B)有x個元素，則x的取值范圍是                                                                （    ）

       A．3≤x≤8且x∈N                                    B．2≤x≤8且x∈N
　　C．8≤x≤12且x∈N                 D．10≤x≤15且x∈N

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5．設(shè)函數(shù)的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是                                                    （    ）

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       A．               B．               C．               D．

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6．要從10名女生與5名男生中選取6名學(xué)生組成課外興趣小組，如果按性別分層隨機抽樣，試問能組成課外興趣小組的概率是                                                                                        （    ）

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      A．         B．         C．             D．

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7．已知直線通過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點，分別過兩點的拋物線的兩條切線相交于點，則的大小是                                                         （    ）

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       A．                  B．                   C．                   D．   

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8．設(shè)數(shù)列的前項和則（    ）

試題詳情

       A．            B．               C．              D．

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9．若方程有解，則屬于                                                                （    ）

試題詳情

       A．            B．           C．            D．

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10．設(shè)是異面直線，給出下列四個命題：①存在平面，使；

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②存在惟一平面，使與距離相等；③空間存在直線，使上任一點到距離相等；④夾在異面直線間的三條異面線段的中點不能共線。

2,4,6

       A．1個                 B．2個                 C．3個                 D．4個

第II卷

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二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。

11．的展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為        .?（用數(shù)字表示）

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12．已知平面上三點A、B、C滿足，，，則

試題詳情

的值等于        .

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13．光線每通過一塊玻璃，其強度要失掉。把幾塊同樣的玻璃重疊起來，通過它們的光線的強度減弱到原來強度的以下，那么至少重疊        塊玻璃（）。

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14．已知，若恒成立，則的最大值為          。

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15．過軸上一點，向圓作切線，切點分別為，則面積的最大值為          。

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16．甲袋裝有4個球，1個球標0， 3個球標1；乙袋裝有5個球，2個球標0，1個球標1，2個球標2�，F(xiàn)從甲乙兩個袋子中各取一個球，則取出的兩個球上標有的數(shù)碼之積的數(shù)學(xué)期望          。

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17．函數(shù)，滿足

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則符合條件的函數(shù)            。

2,4,6

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三、解答題（本大題共5小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

（I）求的值；

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（II）求的值。

 

 

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19．（本小題共14分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。

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（I）求證：平面；

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（II）求到平面的距離；

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（III）求二面角的大小。

 

 

 

2,4,6

 

 

 

2,4,6

試題詳情

（I）求點的軌跡的方程；

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（II）若是過點且垂直于軸的直線，是否存在直線，使得與曲線交于兩個不同的點，且恰被平分？若存在，求出的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題共14分）設(shè)函數(shù)，，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。

試題詳情

（I）求函數(shù)的解析式；

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（II）畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。

 

 

 

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22．（本小題共16分）已知函數(shù),數(shù)列滿足,

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; 數(shù)列滿足, .求證:

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（Ⅰ）

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（Ⅱ）

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   （Ⅲ）若則當n≥2時,.

浙江省五校2007年高三第二次聯(lián)合考試

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一、選擇題

1．選D。提示：在映射f作用下，四邊形ABCD整體平移，面積不變

2,4,6

3．選B。提示：3的對面的數(shù)字是6，4 的對面的數(shù)字是2，故。

4．選B。提示：設(shè)A∪B元素個數(shù)為y，可知10≤y≤16, y∈N，又由x = 18－y可得。

5．選A。提示： 可知為一條對稱軸。

6．選A。提示：依題意:課外興趣味小組由4名女生2名男生組成，共有種選法.其概率為

7．選C。提示：設(shè)代入得，記，

，，，。

8．選A。提示：  

9．選B。提示：原方程兩邊立方并整理得，，顯然，，由于 在 上是增函數(shù)，且，，所以。

10．選C。提示：①正確；②正確，即為公垂線AB的中垂面；③正確，過AB中點作 的平行線，則的平分線符合條件；④不正確，關(guān)于對稱的兩條異面線段的中點與共線。

二、填空題

11．。提示：最小系數(shù)為。

12．。提示：，

13．11．提示：，，取。

14．。提示：由已知，，即，由線性規(guī)劃知識知，當，時達到最大值。

15．。提示：令，則，因為，所以

            
     
            
      
      
            0
            1
            2
             
             
             
             
             
             
                   。
            17．。提示：令，得；令，得；令，得；令，得；故。
            三、解答題
            18．解：（I）
            ――――7分
            （II）因為為銳角，且，所以。――――9分
            ――14分
            19．解：（I）因為平面，
            所以平面平面，
            又，所以平面，
            得，又
            所以平面；――――4分
            （II）因為，所以四邊形為  
            菱形，
            故，又為中點，知。
            取中點，則平面，從而面面， 
                   過作于，則面，
                   在中，，故，
                   即到平面的距離為。――――9分
                   （III）過作于，連，則，
                   從而為二面角的平面角，
                   在中，，所以，
            在中，，
                   故二面角的大小為。14分
             
                   解法2：（I）如圖，取的中點，則，因為，
                   所以，又平面，
                   以為軸建立空間坐標系，
                   則，，，
            ，，
            ，，
            ，由，知，
                   又，從而平面；――――4分
                   （II）由，得。
                   設(shè)平面的法向量為，，，所以
            ，設(shè)，則
                   所以點到平面的距離。――9分
                   （III）再設(shè)平面的法向量為，，，
                   所以
            ，設(shè)，則，
                   故，根據(jù)法向量的方向，
                   可知二面角的大小為。――――14分
            20．解：（I）設(shè)，則，因為 ，可得；又由，
                   可得點的軌跡的方程為。――――6分（沒有扣1分）
                   （II）假設(shè)存在直線，代入并整理得
            ，――――8分
                   設(shè)，則   ――――10分
                   又
                   
            ，解得或――――13分
                   特別地，若，代入得，，此方程無解，即。
                   綜上，的斜率的取值范圍是或。――――14分
            21．解：（I）
                   （1）當時，函數(shù)是增函數(shù)，
                   此時，，
            ，所以；――2分
                   （2）當時，函數(shù)是減函數(shù)，此時，，
            ，所以；――――4分
                   （3）當時，若，則，有；
                   若，則，有；
                   因此，，――――6分
                   而，
                   故當時，，有；
                   當時，，有；――――8分
            綜上所述：。――――10分
                   （II）畫出的圖象，如右圖。――――12分
                   數(shù)形結(jié)合，可得。――――14分
            22．解:
(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.
                   （1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;
                   （2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,
                   因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
                   又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 
                   故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.――――4分
                   又由, 得,從而.
                   綜上可知――――6分
                   (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
                   由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).
                   又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.
                因為,所以,即>0,從而――――10分
                   (Ⅲ)
因為 ,所以, , 
                   所以   ――――① , ――――12分
                   由(Ⅱ)知:,  所以= ,
                   因為, n≥2, 
                所以 <<=――――② .  ――――14分
                   由①② 兩式可知:
.――――16分