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1．設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于　　 (　 　　)

　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

例1(08山東)設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)．

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)討論的單調(diào)性；

(Ⅲ)設(shè)，試比較與的大小．

解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>

，

又和為的極值點(diǎn)，所以，

因此

解方程組得，．

(Ⅱ)因?yàn)?sub>，，

所以，

令，解得，，．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以在和上是單調(diào)遞增的；

在和上是單調(diào)遞減的．

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，

故，

令，

則．

令，得，

因?yàn)?sub>時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減．

故時(shí)，；

因?yàn)?sub>時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增．

故時(shí)，．

所以對(duì)任意，恒有，又，

因此，

故對(duì)任意，恒有．

說(shuō)明：本題主要考查函數(shù)的極值及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，另外利用導(dǎo)數(shù)證明不等式也是09年高考不科忽視的考查方向.

例2．(08北京)已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．

解：

．

令，得．

當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：

		0

當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：

			0

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．

例3．(08天津)已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

解：(Ⅰ)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．

由切點(diǎn)在直線上可得，解得．

所以函數(shù)的解析式為．

(Ⅱ)．

當(dāng)時(shí)，顯然()．這時(shí)在，內(nèi)是增函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，令，解得．

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	+	0	－	－	0	+
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，(0,)內(nèi)是減函數(shù)．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)任意的成立．

從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．

說(shuō)明：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力．

例4．(08湖北)水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

V(t)=

(Ⅰ)該水庫(kù)的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份(i=1,2,…,12),問(wèn)一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？

(Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量(取e=2.7計(jì)算).

解：(Ⅰ)①當(dāng)0＜t10時(shí)，V(t)=(－t²+14t－40)

化簡(jiǎn)得t²－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當(dāng)10＜t12時(shí)，V(t)＝4(t－10)(3t－41)+50＜50,

化簡(jiǎn)得(t－10)(3t－41)＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在(4，10)內(nèi)達(dá)到.

由V′(t)=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	－
V(t)		極大值

由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e²+50－108.32(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米

說(shuō)明：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力.

例5．(08陜西)已知函數(shù)(且，)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是．

(Ⅰ)求函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)；

(Ⅱ)求函數(shù)的極大值和極小值，并求時(shí)的取值范圍．

解：(Ⅰ)，由題意知，

即得，(*)，．

由得，

由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為(或)．

(Ⅱ)由(*)式得，即．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

(i)當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．

，

，

由及，解得．

(ii)當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．

，

恒成立．

綜上可知，所求的取值范圍為．

例6．求證下列不等式

(1)

(2)

(3)

證明：(1) 　

∴ 為上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

說(shuō)明：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式這一部分內(nèi)容不可忽視，它本質(zhì)是還是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題。

8. 　

(1)恒成立　　 ∴為上

∴ 對(duì)任意 不等式　 　恒成立

(2)恒成立　　 ∴ 在上

∴ 對(duì)任意不等式　 恒成立

7. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。

能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。

㈡時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。

若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有�！喈�(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。

㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。

為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?sub>，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。

㈣單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程

已知　

(1)分析 的定義域；　 (2)求導(dǎo)數(shù)

(3)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間

(4)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間

我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。

㈤函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。

6．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

　函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：

　(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；

　(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為

　特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為

5．導(dǎo)數(shù)的定義

　導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)．

　對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

　(1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量)．

　(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果△x→0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．

　(3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)．反之不一定成立．例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)．

　由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

　(1)求函數(shù)的增量；

　(2)求平均變化率；

　(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。

4．瞬時(shí)速度

　在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過(guò)瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書(shū)中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車(chē)速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說(shuō)明．物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度．

3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。

2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專(zhuān)項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。

導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:

1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題：

(1)刻畫(huà)函數(shù)(比初等方法精確細(xì)微)；

(2)同幾何中切線聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線)；

(3)應(yīng)用問(wèn)題(初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便)等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。