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1. 絕對(duì)值的定義和性質(zhì)：

;　

2.掌握解絕對(duì)值不等式等不等式的基本思路;掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法;會(huì)用分類(lèi)、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；

1.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│, 能利用絕對(duì)值的定義的性質(zhì)分析解題;

9．在60°的二面角的棱上，有A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AC、BD分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.

　 ⑴求CD的長(zhǎng)度；　 ⑵求CD與平面所成的角

解：⑴因?yàn)?sub>

，故有

，

∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴

.

(2)過(guò)C作CE⊥平面α于E，連接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，連接DE，則∠CDE就是CD與平面α所成角。

8. 如圖，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED和AC的中點(diǎn)

求：(1)與所成的角；

(2)P點(diǎn)到平面EFB的距離；

(3)異面直線(xiàn)PM與FQ的距離

解：建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、M(0，0，a)、E(a，0，a)、F(0，a，a)，

則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(,0,)、Q(,,0)

(1)∴=(－，0，)，=(，－，－a)，

·=(－)×+0+×(－a)=－a²，

且||= a，||= a.

∴cos〈，〉===－.

故得兩向量所成的角為150°

(2)設(shè)=(x，y，z)是平面EFB的法向量，

即⊥平面EFB，∴⊥，⊥.

又=(－a，a，0)， =(0，a，－a)，

即有，

取，則.

∵ 　=(，0，).

∴ 設(shè)所求距離為d，則= a.

(3)設(shè)=(x₁，y₁，1)是兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量，

則由=(－，0，)，=(，－，－a)，

得,

而 =(0，a，0) 所求距離=a.

7.(2004全國(guó)·河北)如下圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.

(1)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

(2)求面APB與面CPB所成二面角的大小.

解(1)：如下圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O.連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.

∵PA=PD，∴OA=OD.

于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD.由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，

∴PO=PE·sin60°=×=，即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為.

(2)解法一：如下圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.

P(0，0，)，B(0，，0)，PB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，，)，連結(jié)AG.

又知A(1，，0)，C(－2，，0).

由此得到 =(1，－，－)，

　=(0，，－)，=(－2，0，0).

于是有·=0，·=0，

∴⊥，⊥. ，的夾角θ等于所求二面角的平面角.

于是cosθ==－，

∴所求二面角的大小為π－arccos.

解法二：如下圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，

則AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，

在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== .

又∠AGF=π－∠GAE，

∴所求二面角的大小為π－arctan.

6．(2004浙江文)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求證AM⊥平面BDF；

(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大��；

解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

　　 設(shè)，連接NE，

　　 則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是(、(0,0,1),

　∴=(,

　　 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是 、(.

　 ∴ =(

∴ =且與AM不共線(xiàn)，∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

(Ⅱ)

(Ⅲ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF.

5. 設(shè)A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，求D到平面ABC的距離.

解：∵A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，

∴;

設(shè)平面ABC的法向量=(x，y，z)，則·=0，·=0，

∴

即

令z=－2，則=(3，2，－2)由點(diǎn)到平面的距離公式：

==.

∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為.

4．二面角α--β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，則CD的長(zhǎng)為　　 ．

◆答案提示：1.A;　 2. A;　 3.120°; 4. 2

[解答題]

3.已知空間三點(diǎn)A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，則與的夾角θ的大小是_________.