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1、含絕對值不等式的解法的基本思想是設(shè)法去掉絕對值符號

常用方法是(1)利用；(2)由定義分段去絕對值；(3)平方法；(4)數(shù)形結(jié)合法等。

[例1]解關(guān)于的不等式：

(1);　 　(2)

解：(1)法一：原不等式

①或②

由①解得，由②解得

∴原不等式的解集是

法二：原等式等價于

∴原不等式的解集是

法三：設(shè)，由解得

，在同一坐標系下作出它們的圖象，由圖得使的的范圍是，

∴原不等式的解集是

　(2)當x≥a時,不等式可化為

當x<a時,不等式可化為

。

✿提煉方法：題(1)法2比較簡單,其轉(zhuǎn)化也不要求x+3>0.

題(2)的關(guān)鍵不是對參數(shù)進行討論，而是去絕對值時必須對未知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

[例2](1)已知a≠0，求證：≥

(2)求實數(shù)λ的取值范圍，使不等式||＞1對滿足|a|＜1，|b|＜1的一切實數(shù)a、b恒成立；

(3)已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范圍.

證明(1)：當|a|≤|b|時，不等式顯然成立

　　 當|a|>|b|時，

　左=≥

≥=.

另法:當

當,顯然成立.

(2)解：∵||＞1|1－abλ|²－|aλ－b|²

=(a²λ²－1)(b²－1)＞0.

∵b²＜1，∴a²λ²－1＜0對于任意滿足|a|＜1的a恒成立.

當a=0時，a²λ²－1＜0成立；

當a≠0時，要使λ²＜對于任意滿足|a|＜1的a恒成立，

而＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.

(3)||＜1()²＜1

(a+b)²＜(1+ab)²a²+b²－1－a²b²＜0

(a²－1)(b²－1)＜0.

∵|a|＜1，∴a²＜1.∴1－b²＞0，即－1＜b＜1.

[例3]

所以，原命題得證

[例4]設(shè)a，b∈R，關(guān)于x方程x²+ax+b=0的實根為α，β，若|a|+|b|<1，求證：

|α|<1，|β|<1。

解題思路分析：

在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。

法一：令f(x)=x²+ax+b

則 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

　 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵ 0|a|≤|a|+|b|<1

∴ -1<a<1　 ∴

∴ f(x)=0的兩根在(-1，1)內(nèi)，即|α|<1，|β|<1

法二：∵α+β=-a，αβ=b

∴ |α+β|+|αβ|=|a|+|b|<1

∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1

∴(|α|-1)(|β|+1)<0

∵ |β|+1>0　 ∴ |α|<1. 同理：|β|<1

◆提煉方法：適度放縮是處理絕對值不等式的常用技巧，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的選擇等。

[研討.欣賞] (2002 江蘇)已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax－bx．

(1)當b>0時，若對任意x∈R都有f(x)1，證明a2；

(2)當b>1時，證明對任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件是b－1a2；

(3)當0<b1時，討論：對任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件．

證明：⑴對已知二次函數(shù)應(yīng)用配方法，得，當x∈R時，f(x)＝ ，于是，對任意x∈R都有f(x)1f(x)＝1 a2．

⑵用f(x)、f(x)表示f(x)在[0，1]上的最大值、最小值，則對任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1當且僅當　　 (*)

而　　 f(x)＝－b(x－+，(x[0，1])

當2b時，0<1，f(x)＝ ，f(x)＝f(0)或f(1)；

當2b<a時，>1， f(x)＝ f(1)，f(x)＝f(0)．

于是(*)　 或

b－1a2或xb－1a2．

故對任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件是b－1a2．

(3)　由(2)的解答知，對任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1當且僅當

　　　 或

0<a2b或2b<ab+1 0<ab+1．

故當0<b1時，對任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件為0<ab+1．

點評：含參數(shù)的二次函數(shù)與絕對值不等式相綜合，這是歷年高考命題的熱點之一．在備考復(fù)習(xí)時，應(yīng)當重視這類題型的解題技巧，掌握一些解題的套路，領(lǐng)悟當中的變化技能，反復(fù)思考參數(shù)的處理藝術(shù)．

6.不等式的解集是___________

簡答:1-4.CDAD;　 5. {x|x≥－1};　 6.

5．(2004年全國卷I)不等式|x+2|≥|x|的解集是　　　　 .

4. (2004全國IV)不等式的解集為　　　　　　　 (　 )

　　　　　　　　　 A．　 B．　 C．　　 D．

3.(2006北京)在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有(　 )

A.　　　　　　 B.

C.　　　　　 D.

2．(2004福建)命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件；

　 命題q：函數(shù)y=的定義域是(－∞，－1∪[3，+∞.則(　 )

　　　　　　　　　 A．“p或q”為假　　 　　B．“p且q”為真　

　　　　　　　　　　　 C．p真q假　　 D．p假q真

1.(2006江蘇) 設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是(　 )

A.　　　 B.

C.　　　D.

3. 解絕對值不等式的基本思想:去絕對值符號;具體方法有:

,　

一般地:

(3)分段去絕對值，找出零點,分段求解。

(4)數(shù)形結(jié)合.

2.絕對值的運算性質(zhì)

(注意不等式成立的條件)

(注意不等式成立的條件)

;