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3.綜合法是最簡捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時也需要幾種方法綜合運用.

2.對較復(fù)雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個條件(不等式)成立.

1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.

步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號.

對于積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號.

[例1](1)已知a,b∈R,求證:　 a²+b²+1>ab+a

(2)設(shè)求證

證明：(1)p= a²+b²+1-ab-a

=

=

顯然p>0　　 ∴得證

(2)證法一:左邊-右邊=

　=

　= 　= ∴原不等式成立。

證法二:左邊>0，右邊>0。

　∴原不等式成立。

◆提煉方法:比較法.作差(或商)、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。

[例2]已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.

證明法一：(綜合法)∵a+b+c=0，

∴(a+b+c)²＝0.

展開得ab+bc+ca=－，

∴ab+bc+ca≤0.

法二：(分析法)要證ab+bc+ca≤0，

∵a+b+c=0，

故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)²，

即證a²+b²+c²+ab+bc+ca≥0，

亦即證［(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，

∴原不等式成立.

證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.

∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab－(a+b)²

＝－a²－b²－ab＝－［(a+)²+］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.

[例3]已知的三邊長為且為正數(shù).求證:

證明一:分析法: 要證

只需證

　　 ①

∵在ΔABC中,

∴①式成立,從而原不等式成立.

證明二:比較法:

證明二: 因為為的三邊長, 所以

[例4]設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩根x₁、x₂滿足1＜x₁＜x₂＜.

(1)當(dāng)x∈(0，x₁)時，證明x＜f(x)＜x₁；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，求證x₀＜.

證明：(1)令F(x)=f(x)－x，

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

∴F(x)=a(x－x₁)(x－x₂).

當(dāng)x∈(0，x₁)時，由于x₁＜x₂，

∴(x－x₁)(x－x₂)＞0.

又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，

即x＜f(x).

又x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］，

∵0＜x＜x₁＜x₂＜，x₁－x＞0，

1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0，

∴x₁－f(x)＞0，即f(x)＜x₁.

綜上，可知x＜f(x)＜x₁.

(2)法1:f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)+x=ax²-a(x₁+x₂-)x+ax₁x₂

　　 對稱軸為x=x₀=－=, ()

法2:由題意知x₀=－.

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

即x₁、x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根，

∴x₁+x₂=－.

∴x₀=－==.

又∵ax₂＜1，∴x₀＜=.

題目點評:函數(shù)或數(shù)列中的不等式,是高考中的一大類題目,應(yīng)予以特別的關(guān)注,體會方法,積累經(jīng)驗.

[研討.欣賞]已知a＞1，m＞0，求證：log_a(a+m)＞log_a+m(a+2m).

證法1：

取對數(shù)得：lg(a+m)－lga>lg(a+2m)－lg(a+m)＞0　 ①

又 lga<log(a+m) 即　　　 ②

①×②得:

即log_a(a+m)＞log_a+m(a+2m)

(常見形式log_n(n+1)>log_(n+1)(n+2))

法2：log_a(a+m)－log_(a+m)(a+2m)

=－

=

∵a＞1，m＞0，

∴l(xiāng)ga＞0，lg(a+2m)＞0，且lga≠lg(a+2m).

∴l(xiāng)ga·lg(a+2m)＜［()］²

=［］²＜［］²=lg²(a+m).

∴＞0.

∴l(xiāng)og_a(a+m)＞log_(a+λ)(a+2m).

✿提煉方法:1.綜合法,為什么想到用“”--感覺式子的結(jié)構(gòu)特征;

2.比較法.把對數(shù)的積用均值 不等式化為對數(shù)的和是一步關(guān)鍵的決擇.

6.設(shè)甲、乙距離為s，水流速度為v(v₂＞v＞0)，則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時間t=+=，平均速度v₁==.

∵v₁－v₂=－v₂=－＜0，

∴v₁＜v₂.答案：v₁＜v₂

6.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v₁,在靜水中的速度v₂,則v₁與v₂的大小關(guān)系為____________.

◆簡答:1-3.CAD;　 4. ;　 5. ①②;　

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a²+3＞2a；②a²+b²≥2(a－b－1)；③a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；④a+≥2.其中一定成立的是__________.

4.對于滿足0≤≤4的實數(shù)，使恒成立的的取值范圍是　　　 　　．

3. 設(shè)(0，+∞)，則三個數(shù)，，的值　(　)

A.都大于2　　　　　　 　B.都小于2　　

　C.至少有一個不大于2　D.至少有一個不小于2

2.(2005春上海)若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b²－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的　 (　 )

A.充分不必要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分條件

C.充要條件　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要條件