Question

17．已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離為14或2．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當(dāng)AB、CD在圓心O的兩側(cè)時，如圖1，作輔助線，構(gòu)建兩個直角三角形，先由垂徑定理得出BF和ED的長，再利用勾股定理計算出OE和OF的長，相加即可求出距離EF的長；
②當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時，如圖2，同理求得距離EF的長．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)AB、CD在圓心O的兩側(cè)時，如圖1，
過O作OE⊥CD于E，延長EO將AB于F，連接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED=$\frac{1}{2}$×16=8，BF=$\frac{1}{2}$×12=6，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{D}^{2}-E{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時，如圖2，
同理得：EF=OF-OE=8-6=2，
綜上所述，AB和CD的距離為14或2．

點評 本題考查了垂徑定理和兩平行線的距離，熟練掌握垂徑定理，應(yīng)用了垂直弦的直徑平分這條弦，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線構(gòu)建半徑和弦心距，這是圓中常作的輔助線，要熟練掌握；本題還考查了分類討論的思想，分別求出弦心距作和與差得出兩平行線的距離．