Question

2．已知Rt△ABC的斜邊AB=6cm，直角邊AC=3cm，以點(diǎn)C為圓心作⊙C．
（1）當(dāng)半徑r為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時(shí)，直線AB與⊙C相切；
（2）當(dāng)⊙C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則半徑r的取值范圍為r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$，
（3）當(dāng)⊙C與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí)，則半徑r的取值范圍為0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或r＞3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥AB于D，如圖，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=3$\sqrt{3}$，再利用面積法計(jì)算出CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則根據(jù)直線與圓相切的判定方法得到r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）直線與圓相切時(shí)，⊙C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；當(dāng)直線與圓相交，且⊙C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則CA＜r≤CB；
（3）當(dāng)直線與圓相離時(shí)，0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；當(dāng)直線與圓相交，且⊙C與線段AB沒有公共點(diǎn)，則r＞CB．

解答 解：（1）作CD⊥AB于D，如圖，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{3×3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時(shí)，⊙C與直線AB相切；
（2）當(dāng)r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$時(shí)，⊙C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）當(dāng)0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或＞3$\sqrt{3}$時(shí)，⊙C與線段AB沒有公共點(diǎn)．
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$；0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或r＞3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了勾股定理．