Question

7．一直線分三角形ABC的面積比為S₁：S₂，其對應(yīng)周長比為P₁：P₂，若恰有S₁：S₂=P₁：P₂．
求證：此直線必經(jīng)過△ABC的內(nèi)切圓圓心．

Answer 1

分析 設(shè)直線l交三角形兩邊AB，AC于E，F(xiàn)，分三角形ABC的面積比為S₁：S₂，其對應(yīng)周長比為P₁：P₂，有S₁：S₂=P₁：P₂．作角A的平分線交EF于O，則O到AB，AC的距離相等，設(shè)為d，則S_△AEF=$\frac{1}{2}$（AE+AF）d，又S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c為三邊長，r為內(nèi)切圓半徑，只要證明d=r，即可解決問題．

解答 解：設(shè)直線l交三角形兩邊AB，AC于E，F(xiàn)，分三角形ABC的面積比為S₁：S₂，其對應(yīng)周長比為P₁：P₂，有S₁：S₂=P₁：P₂．
作角A的平分線交EF于O，則O到AB，AC的距離相等，設(shè)為d，
則S_△AEF=$\frac{1}{2}$（AE+AF）d，又S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c為三邊長，r為內(nèi)切圓半徑，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{（AE+AF）d}{（a+b+c）r}$，
∵S₁：S₂=P₁：P₂，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE+AF}{a+b+c}$，
∴d=r，即O點(diǎn)為內(nèi)心，
∴直線l過內(nèi)心O．

點(diǎn)評 本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用比例的性質(zhì)解決問題，題目比較難，比較抽象．