Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-2交于A，B兩點，且A點在y軸左側(cè)，P點坐標(biāo)為（0，-4），連接PA，PB．有以下說法：
①PO²=PA•PB； ②當(dāng)k＞0時，（PA+AO）（PB-BO）的值隨k的增大而增大；
③當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，BP²=BO•BA；④△PAB面積的最小值為4$\sqrt{6}$，
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 （1）說法①錯誤．如答圖1，設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，若結(jié)論①成立，則可以證明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此產(chǎn)生矛盾，故說法①錯誤；
（2）說法②錯誤．如答圖2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16為定值，故錯誤；
（3）說法③正確．聯(lián)立方程組，求得點A、B坐標(biāo)，進而求得BP、BO、BA，驗證等式BP²=BO•BA成立，故正確；
（4）說法④正確．由根與系數(shù)關(guān)系得到：S_△PAB=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，當(dāng)k=0時，取得最小值為4$\sqrt{6}$，故正確．

解答 解：設(shè)A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯(lián)立y=$\frac{1}{3}$x²-2與y=kx得：$\frac{1}{3}$x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，-4），A（m，km）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{ma+b=km}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{km+4}{m}$，b=-4，
∴y=（$\frac{km+4}{m}$）x-4．
令y=0，得x=$\frac{4m}{km+4}$，
∴直線PA與x軸的交點坐標(biāo)為（$\frac{4m}{km+4}$，0）．
同理可得，直線PB的解析式為y=（$\frac{kn+4}{n}$）x-4，直線PB與x軸交點坐標(biāo)為（$\frac{4n}{kn+4}$，0）．
∵$\frac{4m}{km+4}$+$\frac{4n}{kn+4}$=$\frac{8kmn+16（n+n）}{（km+4）（kn+4）}$=$\frac{8k×（-6）+16×3k}{（km+4）（kn+4）}$=0，
∴直線PA、PB與x軸的交點關(guān)于y軸對稱，即直線PA、PB關(guān)于y軸對稱．
（1）說法①錯誤．理由如下：
如答圖1所示，∵PA、PB關(guān)于y軸對稱，
∴點A關(guān)于y軸的對稱點A′落在PB上．
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假設(shè)結(jié)論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴$\frac{PO}{PA′}$=$\frac{PB}{PO}$，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴說法①錯誤．
（2）說法②錯誤．理由如下：
易知：$\frac{OB}{OA}$=-$\frac{n}{m}$，
∴OB=-$\frac{n}{m}$OA．
由對稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴PB=-$\frac{n}{m}$PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-$\frac{n}{m}$PA-（-$\frac{n}{m}$OA）]=-$\frac{n}{m}$（PA+AO）（PA-OA）=-$\frac{n}{m}$（PA²-AO²）．
如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=$\frac{1}{3}$（m+n），
∴PA²-AO²=8•$\frac{1}{3}$（m+n）•m+16=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{8}{3}$mn+16=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{8}{3}$×（-6）+16=$\frac{8}{3}$m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-$\frac{n}{m}$（PA²-AO²）=-$\frac{n}{m}$•$\frac{8}{3}$m²=-$\frac{8}{3}$mn=-$\frac{8}{3}$×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）為定值，所以說法②錯誤．
（3）說法③正確．理由如下：
當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-2}\end{array}\right.$，得A（-2$\sqrt{3}$，2），B（$\sqrt{3}$，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故說法③正確．
（4）說法④正確．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=$\frac{1}{2}$OP•（-m）+$\frac{1}{2}$OP•n=$\frac{1}{2}$OP•（n-m）=2（n-m）=2$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，
∴當(dāng)k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為2$\sqrt{24}$=4$\sqrt{6}$．
故說法④正確．
綜上所述，正確的說法是：③④．
故選B

點評 本題是代數(shù)幾何綜合題，難度很大．解答中首先得到兩個基本結(jié)論，其中PA、PB的對稱性是判定說法①的基本依據(jù)，根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論是判定說法②、④的關(guān)鍵依據(jù)．正確解決本題的關(guān)鍵是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將平時所學(xué)知識融會貫通、靈活運用．