Question

15．取一副三角尺按圖1拼接，固定三角尺ADC．
（1）在圖1中，連接BD，計算∠DBC+∠BDC=105°；
（2）將三角尺ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC₁，試問：
①當α=15°時，能使AB∥CD；
②當α=45°時，∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°；
③當0°＜α≤45°時，如圖2所示，連結(jié)BD，探尋∠DBC₁+CAC₁+∠BDC的值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，易得∠BCD=75°，然后在△BDC中運用三角形內(nèi)角和定理就可解決問題；
（2）①如圖2，當α=15°時，可得∠BAC=∠ACD=30°，從而可得AB∥CD；②當α=45°時，可求出∠CEC₁，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠EOC₁，然后利用三角形外角的性質(zhì)可求出∠DBC₁+∠BDC，就可求出∠DBC₁+∠BDC+∠CAC₁；③當0°＜α≤45°時，在△ACC₁中，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠CAC₁+30°+∠OCC₁+45°+∠OC₁C=180°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠DBC₁+∠BDC=∠DOC=∠OCC₁+∠OC₁C，從而可得∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°．

解答 解：（1）如圖1，在△BDC中，∠BCD=45°+30°=75°，
∴∠DBC+∠BDC=180°-∠BCD=105°．
故答案為105°；

（2）①如圖2，當α=15°時，∠BAC=45°-15°=30°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴AB∥CD．
故答案為15°；
②當α=45°時，∠CEC₁=∠EAC+∠ACE=45°+30°=75°，
∴∠EOC₁=180°-∠CEC₁-∠BC₁A=180°-75°-45°=60°，
∴∠DBC₁+∠BDC=∠EOC₁=60°；
∴∠DBC₁+∠BDC+∠CAC₁=60°+45°=105°．
故答案為105°；
③當0°＜α≤45°時，∠DBC₁+CAC₁+∠BDC的值的大小不變，等于105°．
證明：在△ACC₁中，
∵∠CAC₁+∠ACC₁+∠AC₁C=∠CAC₁+∠ACO+∠OCC₁+∠AC₁B+∠OC₁C=∠CAC₁+30°+∠OCC₁+45°+∠OC₁C=180°，
∠DBC₁+∠BDC=∠DOC₁=∠OCC₁+∠OC₁C，
∴∠CAC₁+75°+∠DBC₁+∠BDC=180°，
∴∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，構(gòu)造8字型將∠DBC₁+∠BDC轉(zhuǎn)化為∠OCC₁+∠OC₁C，是解決最后一小題的關(guān)鍵．