Question

11．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D與點B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過點B作BE∥DA交DC于點E，M為AB的中點，連接MD，ME．
（1）如圖1，當(dāng)∠ADC=90°時，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是MD=ME；
（2）如圖2，當(dāng)∠ADC=60°時，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，當(dāng)∠ADC=α?xí)r，求$\frac{ME}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△AMF≌△BME，得出AF=BE，MF=ME，進(jìn)而判斷出∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB，得出CE=BE，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法即可；
（3）同（1）的方法判斷出AF=BE，MF=ME，再判斷出∠ECB=∠EBC，得出CE=BE即可得出∠MDE=$\frac{α}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∵DA=DC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，
故答案為MD=ME；

（2）MD=$\sqrt{3}$ME，理由：
如圖2，延長EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
∵DA=DC，∠ADC=60°，
∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=30°，
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30°=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∵DA=DC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE=30°，
在Rt△MDE中，tan∠MDE=$\frac{ME}{MD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴MD=$\sqrt{3}$ME．

（3）如圖3，延長EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
延長BE交AC于點N，
∴∠BNC=∠DAC，
∵DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠BNC=∠DCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠EBC，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∵∠ADC=α，
∴∠MDE=$\frac{α}{2}$，
在Rt△MDE中，$\frac{ME}{MD}$=tan∠MDE=tan$\frac{α}{2}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解（1）（2）的關(guān)鍵是判斷出∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，是一道基礎(chǔ)題目．