Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角邊AB為直徑作半圓交AC于點(diǎn)D，以AD為邊作等邊△ADE，延長ED交BC于點(diǎn)F，BC=2$\sqrt{3}$，則圖中陰影部分的面積為3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$π．（結(jié)果不取近似值）

Answer 1

分析 根據(jù)題意結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分別得出AB，AC，AD，DC的長，進(jìn)而利用S_陰影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DOB-S_△DCF求出答案．

解答 解：如圖所示：設(shè)半圓的圓心為O，連接DO，過D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過D作DN⊥CB于點(diǎn)N，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以AD為邊作等邊△ADE，
∴∠EAD=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
則△ADE∽△CDF，
∴△CDF是等邊三角形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=4$\sqrt{3}$，AB=6，∠DOG=60°，
則AO=BO=3，
故DG=DO•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
則AD=3$\sqrt{3}$，DC=AC-AD=$\sqrt{3}$，
故DN=DC•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則S_陰影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DOB-S_△DCF
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$
=3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$π．
故答案為：3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$π．

點(diǎn)評 此題主要考查了扇形面積求法以及等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，正確分割圖形是解題關(guān)鍵．