Question

10．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，且相交于點O，E，F(xiàn)為AB，CD的中點，EF分別交AC，BD于點G，H，求證：OG=OH．

Answer 1

分析 取BC邊的中點M，連接EM，F(xiàn)M，則根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得△EMF是等腰三角形，根據(jù)等邊對等角，即可證得∠MEF=∠MFE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠OGH=∠OHG，根據(jù)等角對等邊即可證得．

解答 解：取BC邊的中點M，連接EM，F(xiàn)M，

∵M、F分別是BC、CD的中點，
∴MF∥BD，MF=$\frac{1}{2}$BD，
同理：ME∥AC，ME=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH．

點評 本題考查了三角形的中位線定理，正確證明△EMF是等腰三角形是關(guān)鍵．