Question

1．已知，如圖所示，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，求證：AD=BD=CD．

Answer 1

分析 過B作BE∥AC與AD的延長線相交于點E，利用全等三角形的判定和性質以及矩形的性質進行證明即可．

解答 證明：過B作BE∥AC與AD的延長線相交于點E，連接CE，如圖：
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠DCA，
在△BDE與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DCA}\\{BD=DC}\\{∠BDE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA（ASA），
∴AD=DE，
∵BD=DC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四邊形ABEC是矩形，
∴BC=AE，
∴AD=BD=DC=DE．

點評 此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是利用全等三角形的判定和性質以及矩形的性質進行證明．